Bases

Un conjunto de vectores u₁,u₂,…,un se dice que son linealmente dependientes si existen k₁,k₂,…,k_nЄR, tales que:

  k₁u₁ + k₂u₂ +….+ k_nu_n= 0 (vector)        con algúnk_i ≠ 0

Es decir, uno de ellos es combinación lineal de los otros. En caso contrario, se dice que son linealmente independientes.

Se dice que un conjunto de vectores es un sistema generador si todos los vectores se pueden expresar como combinación lineal de esos vectores.

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que es sistema generador.

En R³ , B = {u₁, u₂, u₃} es una base si:

–Son linealmente independientes

–Son sistema generador, es decir, cada vector v de R³ se puede expresar como v = λ₁u₁ + λ₂u₂ + λ₃u₃. (λ₁, λ₂, λ₃) son las coordenadas de v con respecto a la base B.

 

Teorema de la base. Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Este número se llama dimensión del espacio vectorial.

 

En R³ , tenemos la base canónica:

Entonces, si A(a₁,a₂,a₃) y B(b₁,b₂,b₃)

Y siempre existe un vector equipolente

el vector de posición de P

Para calcular el módulo usamos el teorema de Pitágoras:

Entonces, se prueba que:

Si |v| = 1, se dice que es un vector unitario.

Las operaciones con vectores en coordenadas serían:

Ejercicios

1.- Si u(3,-2,1), v(1,3,-2), A(1,t,2), B(-3,3,0):

a) Calcula el módulo de u.

b) Calcula t si AB(-4,-2,-2).

c) Calcula u + v, 2u - 5v

 

2.- Decide si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes, linealmente independientes, sistemas generadores y/o bases:

a) B₁={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}

b) B₂={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)}

c) B₃={(1,1,1),(1,-1,3),(-1,3,-5)}

 

 

Soluciones:

1.- a)|u|= √14; b) 5; c) u + v = (4,1,-1); 2u - 5v = (1,-19,12)

2.- a) Base, sistema generador y linealmente independientes; b) Linealmente dependientes y sistema generador; c) Linealmente dependientes